物理学中的分形

内容简介

本书介绍物理学中常见的分形现象：连续相变、逾渗、随机游动、 噪声、生长现象、异常扩散、湍流、气候等。它们的共同特点是系统跨越和宽的时间（或空间）尺度，物理量随尺度变化而变化，却存在随尺度变化而不变的标度指数（如相变临界指数） ，这就是物理学中新的对称性--标度对称性。
分形属于非线性科学范畴，和传统物理学的研究方法不同，因此本书介绍分数维的物理意义（如临界奇异性，间隙性，串级过程，层次结构等），介绍近代物理学所关注的记忆性。
本书共分12章，第一章 介绍物理学中的分形现象，第二章介绍分数维的物理含义，第三章到第七章介绍涉及分形的一些数理基础和概念，如标度变换、重整化变换、函数方程、自相似随机过程、小波变换、多重分形等。第八章到第十章介绍分形对混沌、湍流、时间序列，自组织及自组织临界现象等问题的研究进展。第十一章和第十二章介绍分数阶微积分及分数阶动力学，它们是非线性分形物理学的研究成果。

目录

第一章 物理学中的分形现象
1.1 相变和临界指数
1.2 湍流涡旋
1.3 逾渗（渗流）
1.4 1/f噪声
1.5 雪花形成及生长现象
1.6 地震
1.7 气候
1.8 异常扩散!&
小结
第二章 分数维的物理意义
2.1 多尺度系统的标记
2.2 临界现象和奇异性的特征
2.3 间歇(间隙)性的表现
2.4 级联过程和自我复制
2.5 分形层次结构
2.6 处处不可微
2.7 记忆性
小结
第三章 标度变换和迭代函数方程
3.1 标(尺)度变换
3.2 演化方程的标度变换
3.3 物理学中的幂律函数
3.4 与标度有关的函数方程
3.5 迭代函数方程
3.6 迭代变换的非线性物理
3.7 尺度的"伽利略变换"和"洛伦兹变换"
3.8 复杂结构的涌现
小结
第四章 重正化群变换
4.1 重正化群变换的实质
4.2 一维重正化群变换逾渗模型',
4.3 二维重正化群逾渗模型
4.4 一维伊辛模型的重正化群
4.5 简单生长过程的重正化群
4.6 相变和分岔
4.7 相变和突变
4.8 突变和重正化群
小结
第五章 从布朗运动到列维运动
5.1 布朗运动的概率密度分布
5.2 布朗运动下的扩散方程和自相关函数
5.3 自相似的随机过程
5.4 分数维布朗运动
5.5 方差、自相关函数、功率谱等标度指数的关系
5.6 列维运动
5.7 列维分布图像及应用
5.8 广义列维分布
小结
第六章 小波（子波）变换
6.1 傅里叶变换和小波变换描述自然界的异同
6.2 小波变换的标度不变性
6.3 常用的小波及卷积的含义
6.4 小波变换检出t0 处信号的突变性
6.5 哈尔标度函数
6.6 随机函数的哈尔标度函数表示
6.7 哈尔标度函数表示分形
6.8 二维哈尔标度函数
6.9 小波变换的值
小结
第七章 多重分形
7.1 多重分形的来源及其描述方法
7.2 两尺度康托尔集合的配分函数
7.3 多重分形的物理意义
7.4 人口分布的多分维过程
7.5 均匀和不均匀的τ(q)
7.6 求τ(q)，α(q)和f(α)的较好方法
7.7 二维面包师映射的多分维!'*
7.8 三标度的多重分形!'!
7.9 分层电阻网络和增长模型的多重分形!'&
7.10 混沌动力系统的多重分形!')
小结
第八章 混沌、湍流与分形
8.1 费根鲍姆常数和两尺度康托尔集
8.2 圆映射和标度律
8.3 湍流及其统计描述
8.4 对数正态分布和列维分布
8.5 均匀各向同性湍流的科尔莫戈罗夫模型
8.6 间歇湍流的β模型
8.7 佘湍流模型
8.8 对数正态模型
小结
第九章 时间序列的分形
9.1 相空间和相轨迹
9.2 重构相空间的原因
9.3 塔肯斯定理
9.4 混沌和噪声
9.5 延迟时间和时间序列长度
9.6 李雅普诺夫特征指数和科尔莫戈罗夫熵
9.7 经验模态分解
9.8 长记忆性的时间序列
9.9 去趋势涨落分析
小结
第十章 自组织、自相似和结构
10.1 动力系统
10.2 反应扩散系统中的斑图
10.3 临界性和自组织临界性
10.4 沙堆模型
10.5 与斐波那契数有关的自相似螺旋结构
10.6 由伸长、折叠、扭转而形成的多层次结构
10.7 可激发系统的行波结构和孤波宽谱结构
10.8 分形结构出现的原因
10.9 熵和结构
小结
第十一章 分数阶导数的物理来源及定义
11.1 分数阶导数的物理来源
11.2 常数的分数阶导数不为零，分数阶导数为零的函数是幂函数
11.3 将整数阶导数扩展到分数阶导数的定义
11.4 分数阶导数的傅里叶和拉普拉斯变换
11.5 和分数阶导数有关的几个新的函数
11.6 从分数阶导数看记忆性
11.7 分数阶微分方程
11.8 分数阶积分和导数的标度不变性$+,
小结
第十二