随机及其在保险中的应用

内容简介

随机控制理论是控制论的一个重要分支，而保险公司如何选择的经营策略来达到预期的经营目标是一类重要的随机控制问题，这类问题对随机控制理论的发展也具有重要的推动作用。本书先介绍了随机控制的基础理论；之后介绍了这些理论在保险公司选择投资、再保险以及分红等策略时的应用；介绍了作者及合作者的一些研究成果，这些成果主要考虑了在一些务实因素比如卖空、借贷等限制下的保险公司经营策略问题。
　　本书可为相关研究人员及从业人员学习随机控制理论及其在保险中的应用问题提供参考。

目录

前言
第1章 随机过程与随机分析基础
1.1 随机过程一般理论
1.2 马氏过程、鞅
1.2.1 马氏过程
1.2.2 鞅
1.3 泊松过程、布朗运动以及Levy过程
1.3.1 泊松过程
1.3.2 布朗运动
1.3.3 Levy过程
1.4 随机积分及随机微分方程
1.4.1 随机积分
1.4.2 随机微分方程
第2章 随机控制
2.1 离散时间控制
2.1.1 离散时间控制问题
2.1.2 值函数和动态规划
2.1.3 值函数的解
2.2 连续时间（扩散模型）控制
2.2.1 扩散模型的控制
2.2.2 策略及Harrulton-Jacobi-Bellman方程
2.2.3 扩散模型控制问题的数值解法
2.3 连续时间（跳扩散模型）控制
2.3.1 跳扩散模型的控制
2.3.2 Hamilton-Jacobi-Bellman方程和验证定理
2.3.3 跳扩散模型控制问题的数值解法
第3章 保险中的随机控制问题
3.1 保险数学中的一些随机控制问题
3.2 再保险问题
3.2.1 离散时间模型下的再保险问题
3.2.2 扩散逼近模型下的再保险
3.2.3 经典Cramer-Lundberg模型下的再保险问题
3.3 投资问题
3.3.1 离散时间模型下的控制问题
3.3.2 扩散逼近模型下的投资问题
3.3.3 经典Cramer-Lundberg模型下的投资问题
3.3.4 跳扩散模型下的投资一再保险问题
3.4 红利分配问题
3.4.1 离散时间模型下的红利分配问题
3.4.2 扩散逼近模型下的分红问题
3.4.3 经典Cramer-Lundberg模型下的分红策略
3.4.4 跳扩散模型下分红策略问题
3.5 寿险中的控制问题
第4章 在卖空和借贷限制下的保险公司投资一再保险问题
4.1 卖空和借贷限制下的投资一比例再保险问题
4.1.1 模型建立
4.1.2 HJB方程及其求解
4.1.3 实例分析
4.2 卖空和借贷限制下的投资-XL再保险问题
4.2.1 模型建立
4.2.2 HJB方程及其求解
4.3 本章小结
第5章 红利分配效应问题
5.1 红利分配效应及其刻画
5.2 红利分配效应下离散时间模型的控制问题
5.2.1 模型
5.2.2 模型求解
5.2.3 一个例子
5.3 红利分配效应下连续时间模型的控制问题
5.3.1 扩散风险模型
5.3.2 跳扩散风险模型
5.4 本章小结
第6章 红利分配策略问题
6.1 比例再保险一红利问题
……
参考文献
索引

摘要与插图

第1 章随机过程与随机分析基础
随机过程和随机分析的很多基础理论是本书后面章节的基础，虽然这些内容在
其他随机过程或者随机分析的书中都可以找到，但是为了阅读本书方便，第1 章首
先对这些相关内容作一个系统而又概括的介绍. 为节省篇幅，本章一般只罗列一些
结论，并不详细给出证明，但是一般会给出相关证明所在的参考文献. 熟悉这些基
础知识的读者可跳过本章.
1.1 随机过程一般理论
要描述一个随着时间发展变化的随机现象，可以考虑使用一族随时间不断变化
的随机变量，这就是随机过程. 本书中涉及的随机过程，在不做特殊说明的情况下，
都假定它是定义在概率空间（-；F；P） 上.
定义1.1.1 I 是一个非空集合，X = fX（t；￠）；t 2 Ig 是定义在（-；F；P） 上，
取值在一个可测空间（E；E） 的一族随机变量，称X 是一个参数取值于指标集I 的
随机过程. 通常I 可取为R+，[0；T] 或者N 等. 当I 为R+ 或者[0；T] 时，称X 为
连续随机过程；当I 取值为N 时，称X 为离散随机过程或者随机序列. 对任意的
! 2 -，t ! X（t；!） 称为随机过程的轨道.
在本书中，一般取（E；E） 为装备了相应Borel ? 代数的R 或者Rd. 另外，本书
考虑的随机过程如果不做特殊说明，其轨道都是右连续有左极限的，称这类过程为
右连左极过程.
定义1.1.2 两个过程X；Y 称为无区别的，如果
X（t；!） = Y （t；!）；8t
对几乎所有! 成立，也就是说，两个无区别的过程几乎所有的轨道重合. 从而，如果
一个过程的轨道几乎都是右连续有左极限的，它就和一个右连左极的过程无区别，
也可以看做是右连左极的.
定义1.1.3 两个过程X；Y 称为互为修正的，或者随机等价的，如果8t；
X（t；!） = Y （t；!）：
两个随机等价的过程X，Y 不一定会无区别，因为虽然对于任何一个固定的时
刻t，除掉一个零测集之外，X（t；!） = Y （t；!），但是这个零测集是依赖于时刻t 的.
由此只可以推出X；Y 具有相同的有限维分布，但是它们的轨道可以有极大差别，
例子请参见文献[118] 例2.4.
对于随机过程的研究通常还要考虑随时间变化而不断增加的信息，这些信息可
以用一族递增的?- 代数Ft ? F 来表示. 所谓单增的意思是指，8s 6 t；Fs ? Ft.
fFt：t 2 Ig 称为一个流，并称（-；F；（Ft）；P） 为装备了流的概率空间. 此外在本书
中，还假定fFt：t 2 Ig 是右连续的，即8t 2 I；Ft = Ft+，其中Ft+ ：= Ts>t Fs. 任
给一个?- 代数流Ft，只要取Ft+ 来代替Ft，就可以使得?- 代数流右连续化.
如果一个?- 代数流满足递增性、右连续性以及完备性（指的是F0 中包含F
中所有的P- 零测集），则称它是满足通常条件的.
给定一个随机过程X（t；!），可以考虑由其生成的自然?- 代数流FX
t = ?f?（Xs；
s 6 t） [ Ng；t 2 I；N是F中P零集全体. 这个?- 代数流可以理解为随着时间的推
移，从过程X 所能导出的所有信息.
给定?- 代数流Ft；t 2 I，可以定义
Ft? ：= _s
Fs = ?（[s
F1 ：= _ s<1
Fs = ?（[s<1Fs）：
如果Ft? = Ft = Ft+，则称它是连续?- 代数流.
定义1.1.4 称过程X = fX（t；￠）；t 2 Ig 适应的，如果对任意的t 2 I，有Xt
关于Ft 可测.
显然，X 关于它的自然?- 代数流FX
t 是适应的.
适应性是一个重要的概念，它的含义是：过程在任意时刻t 时的取值由在t 时
刻已经掌握的信息Ft 决定.
定义1.1.5 （循序可测） 一个过程X（t） 称为是循序可测的，如果对任意t 2 T，
映射（s；!） ! Xs（!） 在[0；t] ￡ - 上是关于B（[0；t]） ￡ Ft 可测的.
在随机过程的研究中，除了考虑它在一个确定时刻t 的取值外，还经常要考虑
它在某些随机时刻的表现. 随机时刻的例子有很多，比如某种资产价格达到某个事
先给定水平的时刻、保险公司的破产时刻等. 这些时间不是事先确定而是随机的.
在这些随机时刻中，有一类特别重要的情况，它出现与否只需要到目前为止的信息
就可以判断，并不依赖于未来的任何信息，这种随机时刻称为停时.
定义1.1.6 称随机变量? 2 I [ f1g 为Ft 停时，如果f? 6 tg 2 Ft 对所有
t 2 I 成立.
一般情况下，本书中取I = [0；1） 或者[0；T]. 如果? 6 T < 1，则称之为有界
停时.
注意到，确定性时间s 也是停时，因为fs 6 tg 2 f?；-g.
如果X 是一个适应的随机过程，? 是一个停时，则停止过程fX?^tg 也是适
应的.
给定一个停时? ，还可以考虑? 时刻之前的所有信息F? ，
F? ：= fA 2 FjA \ （? 6 t） 2 Ft；8t 2 Ig：
很容易验证F? 是一个?- 代数.
命题1.1.1 （停时的性质）
（1） ?：- ! [0；1] 是一个停时当且仅当（? < t） 2 Ft.
（2） 停时? 是F? 可测的.
（3） 一个随机变量? 是F? 可测的当且仅当对任意t > 0，?I?6t 关于Ft 可测.
（4） 若?；? 都是停时，则? + ? ，? ^ ? ，? _ ? 都是停时，
（? > ? ）；（? > ? ）；（? = ? ） 2 F?^? ；F?^? = F? \ F? ；
? 6 ? ） F? ? F? ；
F? _ F? ：= ?（F? [ F? ） = F?_? ：
（5） 对任意停时? ，存在只取有限个值的停时列f?ng，使得?n # ? .
关于停时更多的性质以及相关证明可以参见文献[130]，[133] 等.
首达时是停时中很重要的例子：令A ? E 是一个Borel 集，定义首达时
?A = infft 2 I：Xt 2 Ag；?¤A = infft 2 I：Xt 2 A或Xt? 2 Ag：
如果A 是开集，则?A 是一个停时. 如果A 是闭集，则?¤A 是一个停时.
一个一般的随机过程首次到达一个任意的Borel 可测集的时刻未必是停时，关
于这个问题的讨论需要Choquet 的容度理论，感兴趣的读者可以参见文献[130].
在概率论中，随机变量的分布是一个非常重要的概念，给定一个分布函数，可
以构造一个随机变量使得其分布恰如所给定的分布. 在随机过程中也可以考虑一个
过程的分布，不过这里要考虑的是过程的“有限维分布”，它不再是一个分布而是
一族分布：
8>
>>>>><>>>>>>：
：F
t1 （x1） ：= PfXt1 6 x1g；
Ft1；t2 （x1；x2） ：= PfXt1 6 x1；Xt2 6 x2g；
...
Ft1；t2；￠￠￠ ；tn（x1；x2；… ；xn） ：= PfXt1 6 x1；Xt2 6 x2；… ；Xtn 6
xng；
...
（1.1）
容易验证一个过程的有限维分布族满足如下条件：
2 对称性：对f1；2；… ；ng 所有的排列?，有
Ft?（1）；￠￠￠ ；t?（n） （x?（1）；… ；x?（n）） = Ft1；￠￠￠ ；tn（x1；… ；xn）：
（1.2）
2 相容性：对一切m 2 N，有
Ft1；￠￠￠ ；tn（x1；… ；xn） = Ft1；￠￠￠ ；tn；tn+1；￠￠￠ ；tn+m（x1；… ；xn；1；…
；1）： （1.3）
反之，当一族给定的函数满足这两个条件时，也可以构造一个过程使得其分布
族恰如给定的这族函数，这就是著名的Kolmogorov 扩张定理.
定理1.1.1 （Kolmogorov 扩张定理） 设o = fot1；￠￠￠ ；tn（x1；… ；xn）；n > 1g
是
一族满足以上对称性和相容性条件的函数族，则存在一个概率空间（-；F；P） 及定
义在其上的随机过程fXtg，Xt：- ! R，使得此过程的有限维分布族恰为o.
注1.1.1 本节所罗列的内容可以在很多随机过程的教材中找到，其中中文教
材可以参考文献[130]，[133]，英文教材可以参考文献[56]，[118] 等.
注1.1.2 关于随机过程的分类，还可以细分为可选、可料过程等，鉴于本书
的难度，对这些内容不多涉及，感兴趣的读者可以参见文献[129]，[130] 等. 虽不多
作说明，但是本书中考虑的过程基本都具有循序可测性及可选性，有的过程还具有
可料性质.
注1.1.3 根据随机过程具有的不同性质，还可以把它们分为一些不同的类型，
例如马氏过程、鞅等，本章后面的内容将分别介绍几类非常重要的过程.
1.2 马氏过程、鞅
马氏过程和鞅都是非常重要的过程类型，对马氏过程和鞅的研究是随机过程研
究的重要分支. 马氏过程是一类具有“忘记过去”性质的过程，鞅起源于对公平赌
博过程的数学描述，二者也存在着很密切的联系.
1.2.1 马氏过程
马氏过程一般分为两类，当时间参数和取值空间均为离散时，相应的过程称为
马氏链；当时间参数为连续时，相应的过程称为连续时间马氏过程. 在连续时间马
氏过程中，又根据它取值的情况分为连续时间马氏链（又称为Q 过程）和连续的马
氏过程.
定义1.2.1 （马氏链） 随机序列fXn；n = 0；1；2；… g 称为马氏链，若它只取
有限或可列个值E0；E1；E2；… （一般以f0；1；2；… g 来表示E0；E1；E2；… ，并称它
们是过程的状态，过程的所有状态是f0；1；2；… g 或者其子集，记为S，称为过程的
状态空间），且对任意的n > 0 及状态i；j；i0；i1；… ；in?1，有
PfXn+1 = jjX0 = i0；X1 = i1；X2 = i2；… ；Xn?1 = in?1；Xn = ig
=PfXn+1 = jjXn = ig： （1.4）
（1.4） 称为马氏性，直观上看，马氏性就是在已知过程现在取值的情况下，它将
来的发展与过去无关. 即它的过去和将来在已知现在的条件下相互独立.
定义1.2.2 （转移概率） 称马氏链定义中的条件概率PfXn+1 = jjXn = ig 为
马氏链fXn；n = 0；1；2；… g 的一步转移概率，简称转移概率. 称PfXn+m = jjXn =
ig 为马氏链fXn；n = 0；1；2；… g 的m 步转移概率.
定义1.2.3 （时齐马氏链） 当马氏链的转移概率PfXn+1 = jjXn = ig 只与
状态i；j 有关，而与n 无关时，称马氏链为时齐的，并记pij = PfXn+1 = jjXn =
ig（n > 0），此时m 步转移概率同样与n 无关，记为pn
ij ；否则，就称之为非时齐的.
定理1.2.1 （Chapman-Kolmogorov 方程） 对于一切n；m > 0；及状态i；j 有
Pm+n
ij =Xk2S
Pm
ik Pn
kj ：
定义1.2.4 若存在n > 0 使得pn
ij > 0，则称马氏链可以从状态i 到达状态
j，记为i ! j. 如果i ! j 和j ! i 都成立，则称状态i；j 是互通的.
互通是一种等价关系，可以根据状态之间的互通关系来对马氏链的状态归类.
当马氏链只有一类即所有状态都互通时，称马氏链是不可约的，否则称为可约的.
处于同一类的状态具有很多共同的重要性质.
定义1.2.5 （周期性） 若集合fn > 1；pn
ii > 0g 非空，则称它的最大公约数
d = d（i） 为状态i 的周期. 当d > 1 时，称i 有周期，当d = 1 时，称i 非周期，特别
当fn > 1；pn
ii > 0g 为空集时，称i 的周期为无穷大.
在同一类的状态具有相同的周期.
定义1.2.6 （常返和暂留） 对于马氏链的任意两个状态i；j，令
f（0）
ij = 0；
f（n）
ij = PfXn = j；Xk 6= j；81 6 k 6 n ? 1jX0 = ig；n > 1；
fij ：=
1Xn=1
f（n）
ij ，若fii = 1，则称i 是常返状态，否则称它为暂留状态.
定义1.2.7 （正常返，零常返，遍历） 对于常返状态i，如果1i ：=
1Xn=1
nf（n）
ii <
1，则称它为正常返状态，否则称为零常返状态. 若i 正常返同时非周期，则称它为
遍历状态.
对于同一类中的状态，它们同为常返或暂留，常返时同为正常返或者零常返. 由
此若某一类中有一个状态时遍历的，则此类中所有状态都是遍历的.
命题1.2.1 状态i 正常返当且仅当
1Xn=1
P（n）
ii = 1；状态i 非常返时有
1Xn=1
P（n）
ii =
1
1 ? fii
：
马氏链具有很重要的应用，其中不可约、状态遍历的马氏链（称为遍历马氏链）
尤为重要，遍历马氏链具有非常好的性质. 在介绍这个性质之前，先来介绍平稳分
布和极限分布的概念.
定义1.2.8 （平稳分布） 概率分布fPi；i 2 Sg 称为马氏链的平稳分布，如果
Pj =Xi2S
PiPij ：
如果一个马氏链是从它的一个平稳分布出发，那么它在之后任一时刻的分布都
还是这个分布，这就是平稳的含义.
定义1.2.9 （极限分布） 对于一个遍历马氏链，极限
lim
n!1
P（n）
ij = ?j ；j 2 S
称为此马氏链的极限分布，其中?j =
1
1j
.
命题1.2.2 对于不可约非周期马氏链，
（1） 如果它是遍历马氏链，则?j > 0 是它的平稳分布且它是此链唯一的平稳分
布；
（2） 如果它的状态都是暂留或者零常返的，则它不存在平稳分布.
注1.2.1 离散时间马氏链的内容在很多随机过程的教材中都可以找到，可以
参考文献[133]，[139] 等.
以下介绍连续时间马氏过程.
定义1.2.10 （连续时间马氏过程） 令X 是一个fFtg 适应的随机过程，称X
是一个fFtg 马氏过程，如果对任意的B 2 E 有
P[Xt+s 2 BjFt] = P[Xt+s 2 BjXt]：
当fFtg 取为X 的自然?- 代数流fFX
t g 时，简称fFX
t g 马氏过程为马氏过程.
马氏过程有诸多等价定义，详情请参考文献[133].
类似马氏链情况，可以考虑马氏过程的转移概率（又称为转移函数）. 令
P（t；s；x；B） ：= P[Xs 2 BjXt = x]：