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内容简介
前言
“… was it heavy? Did it achieve total heaviosity?”
——Alvie (Woody Allen) to Annie (Diane Keaton) in Annie Hall, 1977.
重尾分析是极值理论中的分支之一，用于研究由重大事件造成的现象。 它既包括概率模型，也需要统计分析，其数学工具主要建立在分布理论正则变换、渐近理论和概率测度极限理论上。
近十年来，重尾分析广泛应用于保险风险管理中，其要的原因是，大量事件的发生。例如，2001年的“9.11”恐怖袭击、2004年的印度洋海啸、2005年的Katrina飓风、2008年的汶川大地震、2010年的海地大地震、2011年的日本大地震，是近年来的金融危机等。这些事件往往带来重尾索赔额等。数据显示，经典的轻尾分布刻画的经验公式存在着明显的偏差，重尾分析获得的保险公司破产概率的渐近结果更为合理。本书以重大灾害风险相关理论为依据，主要研究重尾风险模型，包括经典的更新风险模型和一些与保险业息息相关的复杂化的非经典模型，以及相应破产概率的渐近性问题。在一些非经典的风险模型中，作为主要对象的索赔额过程，它们之间不必是相互独立的，如可以是某种负相依关系或其他地相依关系；相应地，索赔间隔时间过程也可以不必相互独立；但我们仍然要求索赔额过程与索赔间隔时间过程彼此是相互独立的。尽管本书研究了各种经典与非经典的风险模型，但它们都有两点共同之处：其一，每个索赔额到达时，造成保险公司的索赔额或者净损失分布都是重尾的，是次指数或带有控制变换尾的。在保险业，是财产保险业中，许多重大的风险都是由一个（或一些）大额索赔造成，其分布往往是重尾而非轻尾的。因此，本书将重尾风险模型作为主要的研究对象。其二，各种破产概率渐近性的研究，与极限理论中的大偏差理论，随机游动理论和分布理论等紧密相关。因此，本书将以此作为重尾风险理论研究的主要工具。
本书的结构如下： 第1章给出本书的研究背景和经典的风险模型，包括本书常用的一些风险量，并给出Cramér-Lundberg风险模型中轻尾索赔额时破产概率的估计；第2章详细介绍重尾分布的特征和常用的重尾分布子族，如正则变换、长尾分布、控制变换尾分布、次指数分布等；第3章和第4章分别介绍带利率和不带利率的多种重尾风险模型，包括各种相依的风险模型、复合更新风险模型、带红利干扰的风险模型等，研究这些经典或者非经典风险模型中有限时破产概率和无限时破产概率的渐近性以及一致渐近性；第5章以随机加权和尾概率的研究为基础，讨论带保险风险和金融风险的离散时风险模型；第6章简单介绍大偏差理论，包括精致大偏差和粗略大偏差，并且研究独立更新风险模型中，带有固定初始资本的有限时破产概率的渐近性。
本书的第1~4章和第6章由杨洋编写，第5章由王开永编写。第3章和第6章的内容包含我的博士毕业论文，在此对我的博士生导师苏州大学王岳宝教授致以深深的感谢，感谢他悉心的指导和热情的鼓励；本书的第3和第4章是我在立陶宛Vilnius University访学期间完成，这两章内容得到了Remigijus Leipus 教授和Jonas ?iaulys教授的讨论和帮助，在此对他们表示衷心的感谢；同时我还要深深的感谢南京审计学院方习年教授和东南大学林金官教授，他们在很多方面给予了我关心帮助和大力支持；感谢国家自然科学基金（11001052）、江苏省自然科学基金（BK2010480）、江苏省青蓝工程和南京审计学院学术专著出版资助项目对本书的资助。
由于编者水平有限，书中纰漏在所难免，恳求广大读者批评指正。
杨 洋
目录
目录
前言
第1章 引论 1
1.1 风险过程与破产概率 3
1.2 索赔额分布 7
1.2.1 轻尾分布 8
1.2.2 重尾分布 9
1.2.3 常见的重尾分布子族及其性质 10
1.3 索赔到达过程 14
1.4 Cramér-Lundberg估计 18
第2章 重尾分布 27
2.1 重尾分布族及其性质 27
2.2 正则变换 30
2.3 长尾函数与长尾分布 34
2.4 次指数分布 42
2.5 控制变换尾分布与O正则函数 57
2.6 重尾分布间的控制关系 61
第3章 不带利率的重尾风险模型 73
3.1 Veraverbeke 定理 73
3.2 独立增量随机游动极大值尾概率的估计 80
3.3 两类相依风险模型的无限时破产概率 88
3.3.1 带有被调节索赔额过程破产概率的渐近性 91
3.3.2 带有负上象限相依索赔额过程破产概率的渐近性 96
3.4 带有次指数索赔额独立风险模型的有限时破产概率 98
3.5 带有负下象限相依索赔时间间隔风险模型的有限时破产概率 104
3.6 红利干扰模型中的无限时破产概率 117
3.6.1 随机游动极大值尾概率的渐近性 117
3.6.2 负相协更新门限超出概率的渐近性 123
3.6.3 红利干扰风险模型中破产概率的渐近性 127
第4章 带利率的重尾风险模型 131
4.1 独立风险模型中的有限时破产概率 132
4.2 负相依风险模型中的有限时破产概率 140
4.3 负相依复合更新风险模型中的有限时破产概率 157
4.3.1 控制变换情形下随机和尾概率的估计 158
4.3.2 Gumbel值吸引场情形下随机和尾概率的估计 163
4.3.3 相依复合更新风险模型中破产概率的渐近性 168
4.4 宽象限相依更新风险模型中有限时破产概率的一致渐近性 170
第5章 随机加权和 191
5.1 独立随机加权和 191
5.1.1 有界权重情形 191
5.1.2 一般权重情形 209
5.2 相依随机加权和 222
5.2.1 上尾独立情形 222
5.2.2 准渐近独立情形 233
第6章 大偏差理论 247
6.1 大偏差理论简介及回顾 248
6.2 独立次指数随机变量差的精致大偏差及应用 251
6.2.1 精致大偏差结果 252
6.2.2 随机游动次上穿时的尾渐近性 264
6.2.3 固定的初始资本下有限时破产概率的渐近性 271
6.3 带控制变换尾实值随机变量和的精致大偏差 274
6.3.1 负相协随机变量的基本更新定理 274
6.3.2 控制变换尾分布族随机变量和的精致大偏差Ⅰ 279
6.3.3 控制变换尾分布族随机变量和的精致大偏差Ⅱ 283
6.4 粗略大偏差 291
6.4.1 非负随机变量和的粗略大偏差 291
6.4.2 实值随机变量和的粗略大偏差 294
数学符号和缩写 301
主要参考文献 303
摘要与插图
内容简介：本书以重大灾害风险相关理论为依据, 以重大灾害风险发展形势及损失概算为着眼点, 从减少重大灾害风险对保险公司造成的损失、维护保险公司正常运营的角度出发, 研究重大灾害下保险公司的风险模型。本书针对经典的更新风险模型, 以及一些与金融保险业息息相关的复杂化了的非经典模型, 研究相应破产概率的渐近性问题, 其中既包括当初始资本趋于无穷时各种风险模型下破产概率的渐近结果, 也有经典的更新风险模型中当初始资本固定时有限时破产概率的渐近性结果。重尾分布是保险领域刻画索赔额的重要模型, 可为保险公司对其业务进行风险评估和科学决策提供参考。本书详细介绍了各种重尾分布的定义、性质及分类, 并以此为基础, 研究了各种相依结构的重尾风险模型中破产概率的渐近性问题。
本书适合保险公司的研究和管理人员、从事概率统计和风险理论研究的科研人员, 以及高等院校相关专业的师生参考阅读。