内容简介
积分论一直是分析学的核心领域年来产生的非可加积分、集值积分与模糊值积分理论发展迅速，且在信息论、控制论、数量经济、决策过程、人工智能和大数据等领域有着广泛的应用.《广义积分论》系统介绍非可加积分、集值积分与模糊值积分领域的*新理论成果，因为其涵盖了经典的Lebesgue积分，所以定名为“广义积分论”.内容有：单值积分括抽象Lebesgue积分、Bochner积分、模糊积分、（N)模糊积分、半模模糊积分、广义模糊积分、Choquet积分、拟积分、广义Choquet积分、格值广义模糊积分；集值积分括Aumann积分、Debreu积分、集值模糊积分、集值Choquet积分；模糊值积分括模糊值Aumann积分、模糊值模糊积分、模糊值Choquet积分；关于模糊数测度的积分；关于模糊数模糊测度的模糊积分、广义模糊积分、广义Choquet积分；广义模糊数理论.
目录
《模糊数学与系统及其应用丛书》序;
前言;
□□章 积分论大意 pan class="Apple-converted-space">;
1.1 测度与可测函数 pan class="Apple-converted-space">;
1.1.1 测度 pan class="Apple-converted-space">;
1.1.□ 可测函数 3;
1.□ 积分 4;
1.□.1 定义、质与收敛定理 4;
1.□.□ Fubini 定理 6;
1.□.3 Radon-Nikodym 定理 6;
参考文献 6;
第□章 模糊集、模糊测度与可测函数 7;
□.1 模糊集基础 7;
□.□ 模糊测度 9;
□.□.1 定义与例子 9;
□.□.□ 模糊测度的结构特征 1pan class="Apple-converted-space">;
□.□.3 模糊测度序列 14;
□.3 可测函数列 17;
□.4展与注 19;
参考文献 □0;
第3章 模糊积分 □pan class="Apple-converted-space">;
3.1 Sugeno 模糊积分 □pan class="Apple-converted-space">;
3.1.1 定义 □pan class="Apple-converted-space">;
3.1.□ 质 □□;
3.1.3 收敛定理 □4;
3.1.4 转化定理， 由积分定义的集函数 □6;
3.1.5 上、下 Sugeno 积分 □6;
3.□ (N) 模糊积分与半模模糊积分 □7;
3.□.1 (N) 模糊积分 □7;
3.□.□ 半模模糊积分 □9;
3.3 广义半模模糊积分 3pan class="Apple-converted-space">;
3.3.1 定义与质 3□;
3.3.□ 收敛定理 35;
3.3.3 模糊测度序列在广义半模模糊积分意义下的弱收敛 4pan class="Apple-converted-space">;
3.3.4 广义半模模糊积分的收敛定理 44;
3.3.5 广义半模模糊积分的表示 46;
3.3.6 由广义半模模糊积分定义的模糊测度 5pan class="Apple-converted-space">;
3.4展与注 5□;
参考文献 54;
第4章 Choquet 积分 57;
4.1 非负函数的 Choquet 积分 57;
4.1.1 定义和质 57;
4.1.□ 模糊测度的表示， 共单调可加 59;
4.1.3 广义收敛定理及 Choquet 积分表示 64;
4.1.4 Choquet 积分不等式 67;
4.1.5 上、下 Choquet 积分 68;
4.□ 非对称 Choquet 积分 70;
4.□.1 定义与质 70;
4.□.□ 收敛定理 7□;
4.□.3 由 Choquet 积分定义的集函数 73;
4.3 Fubini 定理 75;
4.3.1 基于代数的 Fubini 定理 75;
4.3.□ 基于 σ-代数的 Fubini 定理 76;
4.3.3 一般情形的乘积容度与 Fubini 定理 78;
4.4 Choquet 积分——其他 80;
4.4.1 对称 Choquet 积分 80;
4.4.□ 关于拟 Lebesgue 测度的 Choquet 积分 8□;
4.4.3 新 Choquet-like 积分 84;
4.4.4 Choquet-Stieltjes 积分 86;
4.4.5 非单调模糊测度空间及收敛 86;
4.5展与注 89;
参考文献 89;
第5章 拟积分与广义 Choquet 积分 93;
5.1 Sugeno 与 Murofushi 的拟可加测度与积分 93;
5.1.1 拟可加测度与积分的基本概念 93;
5.1.□ 拟可加积分的收敛定理 96;
5.1.3 g-积分 10pan class="Apple-converted-space">;
5.1.4 Choquet-like 积分 106;
5.□ σ-可加测度与拟积分 107;
5.□.1 半环的基本概念 107;
5.□.□ 拟积分的定义 110;
5.□.3 Fubini 定理 11□;
5.□.4 拟积分转化定理 116;
5.□.5 拟积分的广义 Minkowski 不等式 117;
5.□.6 拟积分的 Jensen 不等式 1□pan class="Apple-converted-space">;
5.3 非负可测函数的拟积分的再定义 1□8;
5.3.1 定义 1□8;
5.3.□ 质 130;
5.3.3 收敛定理 13pan class="Apple-converted-space">;
5.4 广义 Choquet 积分 134;
5.4.1 半环值模糊测度 134;
5.4.□ 广义 Choquet 积分——一般情形 135;
5.4.3 广义 Choquet 积分——情形 I—情形 III 136;
5.4.4 广义 Choquet 积分的收敛定理 143;
5.4.5 广义 Choquet 积分不等式 146;
5.5展与注 148;
参考文献 149;
第6章 格值广义模糊积分 15□;
6.1 格 L 上的广义三角模与 TS-L 广义模糊积分 15□;
6.1.1 格 L 上的广义三角模 15□;
6.1.□ TS-L 广义模糊积分 153;
6.□ _S-L 广义模糊积分 159;
6.□.1 常值函数 TS-L 广义模糊积分的讨论 159;
6.□.□ ∨S-L 广义模糊积分 16pan class="Apple-converted-space">;
6.3 Rm+-值广义模糊积分 165;
6.3.1 基本概念与定义 165;
6.3.□ m 维广义模糊积分定理及收敛定理 166;
6.4展与注 170;
参考文献 17pan class="Apple-converted-space">;
第7章 集值函数与模糊集值函数的积分 17□;
7.1 预备知识 17□;
7.1.1 Bochner 积分 17□;
7.1.□ 集值函数 174;
7.1.3 可积选择空间 177;
7.□ 集值函数的 Aumann 积分 180;
7.□.1 定义 180;
7.□.□ 质 18pan class="Apple-converted-space">;
7.3 P0(Rn) 值函数的 Aumann 积分 184;
7.3.1 基本质， 收敛定理 184;
7.3.□ Fubini 定理 185;
7.3.3 Debreu 积分 186;
7.4 集值测度 187;
7.4.1 集值测度的定义与质 187;
7.4.□ 集值测度的选择 188;
7.4.3 Radon-Nikodym 定理 189;
7.5 模糊集值函数的积分 19pan class="Apple-converted-space">;
7.5.1 n 维模糊数 19pan class="Apple-converted-space">;
7.5.□ 一维模糊数 193;
7.5.3 模糊集值函数 194;
7.5.4 模糊集值函数的积分 195;
7.5.5 模糊值积分的 Fubini 定理 199;
7.5.6 模糊集值测度 □00;
7.6 Pk(R)-值与 Pk(R)-值积分的 Jensen 不等式 □0pan class="Apple-converted-space">;
7.6.1 凸函数与经典 Jensen 不等式 □0pan class="Apple-converted-space">;
7.6.□ 集值函数与模糊集值函数积分的几个质 □0pan class="Apple-converted-space">;
7.6.3 集值 Jensen 不等式 □03;
7.6.4 模糊集值 Jensen 不等式 □07;
7.7 模糊数测度与积分 □14;
7.7.1 模糊数测度 □14;
7.7.□ 模糊值函数关于模糊数测度的积分 □15;
7.7.3 Fubini 定理 □19;
7.7.4 Radon-Nikodym 定理 □□0;
7.8展与注 □□pan class="Apple-converted-space">;
参考文献 □□□;
第8章 集值函数与模糊集值函数的模糊积分 □□6;
8.1 预备知识 □□6;
8.□ 集值函数的模糊积分 □□7;
8.□.1 定义与质 □□7;
8.□.□ 收敛定理 □3pan class="Apple-converted-space">;
8.3 模糊集值函数的模糊积分 □33;
8.3.1 定义与质 □33;
8.3.□ 收敛定理 □35;
8.4 集值模糊测度与拟可加集值测度 □37;
8.4.1 定义与例子 □37;
8.4.□ 集值模糊测度的一种构造方法 □37;
8.4.3 拟可加集值测度与 Radon-Nikodym 定理 □38;
8.5 集值函数的集值 Choquet 积分 □39;
8.5.1 定义与质 □39;
8.5.□ 收敛定理 □4□;
8.6 模糊集值函数的 Choquet 积分 □43;
8.7 集值函数的实值 Choquet 积分 □44;
8.7.1 定义与质 □44;
8.7.□ 收敛定理 □46;
8.8 Choquet 积分的 Jensen 不等式 □47;
8.8.1 实值 Jensen 不等式 □47;
8.8.□ 集值函数实值 Choquet 积分的 Jensen 不等式 □5pan class="Apple-converted-space">;
8.8.3 集值 Choquet 积分的 Jensen 不等式 □53;
8.8.4 模糊集值 Choquet 积分的 Jensen 不等式 □55;
8.9展与注 □56;
参考文献 □57;
第9章 模糊数模糊测度与模糊积分 □59;
9.1 预备知识 □59;
9.□ 区间数模糊测度与模糊数模糊测度 □6□;
9.3 模糊值函数关于模糊数模糊测度的模糊积分 □64;
9.3.1 区间值函数关于区间数模糊测度的模糊积分 □64;
9.3.□ 模糊值函数关于模糊数模糊测度的模糊积分 □67;
9.4 模糊值函数关于模糊数模糊测度的广义模糊积分 □7□;
9.4.1 区间值函数关于区间数模糊测度的广义模糊积分 □7□;
9.4.□ 模糊值函数关于模糊数模糊测度的广义模糊积分 □73;
9.5 模糊值函数关于模糊数模糊测度的广义 Choquet 积分 □77;
9.5.1 区间值函数关于区间值模糊测度的广义 Choquet 积分——一般情形 □77;
9.5.□ 区间值函数关于区间值模糊测度的广义 Choquet 积分——半环情形 I—情形 III □78;
9.5.3 模糊值函数关于模糊数模糊测度的广义 Choquet 积分——半环情形 I—情形 III □80;
9.6展与注 □8□;
参考文献 □8□;
□□0章 广义模糊数 □84;
10.1 定义与基本定理 □84;
10.1.1 CH 广义模糊数 □84;
10.1.□ 广义模糊数的再定义 □85;
10.□ 广义模糊数空间: 序、运算、距离 □90;
10.□.1 h-广义模糊数 □90;
10.□.□ 广义模糊数 □9□;
10.3 广义模糊数序列 □99;
10.4展与注 303;
参考文献 304;
《模糊数学与系统及其应用丛书》已出版书目 309
摘要与插图
本章将概要介绍经典积分论的内容，括测度、可测函数、积分、重积分、Radon-Nikodym 定理等， 这些是构建积分论的基本框架. 本章借鉴了文献 [3] 的□□章， 详细内容建议读者参看 [1]—[5] 等.;
本书中， 将用到以下的符号和约定:;
N 表示正整数集， Q 表示有理数集， R = ( 1，1) 表示实数集 (R+ 表示非负实数集)， 称为广义实数 (非负) 集. 对于;
1.1 测度与可测函数;
1.1.1 测度;
记 ？ 为空集. 给定任一非空集合 X， 称其所有子集构成的集合为 X 的幂集，记为 □X 或 P(X).;
称非空集族为 σ-代数， 若满足：;
(1);
(□);
(3);
显然， 若 Σ 是 σ-代数， 则其关于集合的并、交、差、补 (不超过可数次) 运算封闭.;
称二元组 (X， Σ) 为可测空间.;
定义 1.1.1 给定可测空间 (X， Σ). 若集函数 m : Σ → [0，1] 满足下列条件，则称为测度.;
(1);
(□) (可列可加);
其中;
地，;
若 m(X) = 1， 则称 m 为概率， 通常记为 P;;
若 m(X) < ∞， 则称其为有限测度;;
若存在，An↑X 且 m(An) < ∞， n ≥1， 则称 m 为 σ-有限测度.;
称三元组 (X，Σ，m) 为测度空间 (或由 m 的有限、σ-有限称其为有限测度空间、σ-有限测度空间).;
定义 1.1.□ 给定测度 m : Σ → [0， ∞]. 若 A ∈Σ， 且 m(A) = 0， 则称A 为 m-零集. 若所有 m-零集的子集都属于 Σ， 则称 m 为 Σ 上的完备测度， 称(X，Σ，m) 为完备测度空间.;
定义 1.1.3 给定测度空间 (X，Σ，m)， 记. 若存在测度满足m(A) = m(A)，A ∈ Σ， 则称ˉm 是 m 的完备化测度， (X， ˉΣ， ˉm) 是 (X，Σ，m) 的完备化测度空间.;
质 1.1.4 测度 m 具有下列质：;
(1) (单调);;
(□) (有限可加);;
(3) (下半连续);;
(4) (上半连续).;
例 1.1.5 记 R = (-∞， ∞) 是实数集， Rn = R × R× × R(n 个)， 定义欧氏距离;
这里 x = (x1， x□， ， xn)， y = (y1， y□， ， yn) ∈ Rn.;
含 Rn 的所有开集的*小 σ-代数为 Borel 域， 记为 B(Rn)， 称其中的元素为 Borel 可测集.;
记 In = [a1， b1] ×[a□， b□] × ×[an， bn]， In 被称为 n 维闭区间. 类似地， 可以定义 n 维开、半开区间. 定义区间体积为;
则由 λ 扩张到 B(Rn) 所得到的测度称为 Borel 测度， 称 (Rn，B(Rn)， λ) 为 Borel测度空间， 称其完备化空间为 Lebesgue 测度空间， 记为 (Rn，L(Rn)， λ)， 称 λ 为Lebesgue 测度.;
Lebesgue 测度是长度、面积、体积的推广.;
例 1.1.6 给定 Lebesgue 测度空间 (R，L(R)， λ). 设 α : [0，1] ! [0，1] 是单调递增右连续函数， 满足 α(0) = 0(称为分布函数). 由;
生成的 L(R) 上的测度， 称为 Lebesgue-Stieltjes 测度.;
1.1.□ 可测函数;
给定可测空间 (X， Σ)， 记 R= [-∞， ∞].;
定义 1.1.7 函数 f : X → R称为 Σ-可测 (简记为可测) 的， 若对， 均有 (f≥t) = {x ∈ X : f(x) ≥t} ∈ Σ.;
质 1.1.8 函数 f : X → R为可测的下列条件之一成立：;
(1) 对 t ∈ R， 均有 (f > t) = {x ∈ X : f(x) > t} ∈ Σ;;
(□) 对 t ∈ R， 均有 (f ≤ t) = {x ∈ X : f(x) ≤t} ∈ Σ;;
(3) 对 t ∈ R， 均有 (f < t) = {x ∈ X : f(x) < t} ∈ Σ.;
质 1.1.9 函数 f : X → R 为可测的下列条件之一成立：;
(1) 对任意开集 G R， 均有;;
(□) 对任意闭集 F R， 均有;;
(3) 对任意 Borel 集 B B(R)， 均有.;
定理 1.1.10 设 f， g 是可测函数， 则;
均为可测函数.;
定理 1.1.11 设 {fn} 是可测函数列， 且 fn → f， 则 f 是可测的.;
定理 1.1.1□ 设 {fn} 是可测函数列， 则是可测函数.;
例 1.1.13 设 A ∈ Σ， 定义 A 的特征函数为;
则 χA 是可测的.;
例 1.1.14 设， 其中，;
则 s 是可测的， 且称为简单函数.;
例 1.1.15 若函数 f : R → R 是连续的， 则 f 是 B(R)-可测的.;
给定 f : X → R， 记;
则.;
定理 1.1.16 函数 f 是可测的 f-， f+ 是可测的.;
定理 1.1.17 函数 f : X → R是可测的存在简单函数列 {sn}， 满足， 且 sn → f一步：;
(1) 若 f 是有界的， 则 sn → f 是一致的;;
(□) 若 f 是非负的， 则 sn ↑ f.;
证明 只证 f 是非负的情形. 设， 取函数，易知 sn ↑ f.;
1.□ 积分;
1.□.1 定义、质与收敛定理;
给定测度空间 (X，Σ，m).;
定义 1.□.1 (1) 设是非负简单函数， 则其积分为;;
(□) 设 f : X → [0，1] 是非负可测函数， 则其积分为;
(3) 设 f : X →[-∞， ∞] 是可测函数， 则其积分定义为.;
当时， 称 f 在 A 上关于 m 可积;;
当或 -∞时， 称 f 在 X 上关于 m 积分存在.;
通常符号简记为.;
注 1.□.□ (1) 在概率空间 (X，Σ， P) 上， 通常称可测函数 f 为□量， 其积分通常称为均值， 记为 E(f).;
(□) 关于 “几乎处处”(a.e.): 设在给定测度空间 (X，Σ，m) 上一个与 x ∈ A ∈ Σ有关的命题 P(x). 若存在 N ∈ Σ， 使得 P(x) 在 A - N 上成立， 且 P(N) = 0， 则称 P(x) 在 A 上几乎处处成立， 记为 P(x)m-a.e.(或 a.e.) 于 A.;
基于此， 我们有 “a.e. 有限， a.e. 相等， a.e. 收敛” 等概念.;
质 1.□.3 可积函数的积分具有下列质：;
定理 1.□.4(单调递增收敛定理) 设 {fn} 是非负可测函数列， 则;
推论 1.□.5(Fatou 引理) 设 {fn} 是非负可测函数列， 则;
定理 1.□.6(控制收敛定理) 设 {fn} 是可测函数列， 且 fn → f. 若存在非负可积函数 g， 使得对任意 n ≥ 1， 均有， 则.;
1.□.□ Fubini 定理;
设 (X，Σ， μ) 与 (Y， Γ， ν) 是 σ-有限测度空间. 令 Σ×Γ = σ({A×B : A ∈Σ，B ∈ Γ}) 且记 μ×ν 是其上的乘积测度， 称 (X ×Y，Σ×Γ， μ×ν) 为乘积空间.;
定理 1.□.7(Fubini 定理) 设 f : X×Y → [0，∞] 是可测函数， 则;
(1) fy(x) = f(x， y)， y ∈ Y， a.e. 是 Σ-可测函数;;
(□)是 Γ-可测函数;;
(3).;
(1)—(3) 中的 x 与 y 的地位是同等的.;
由 Fubini 定理可以得到积分转化定理.;
定理 1.□.8(积分转化定理) 设 f : X → [0， ∞] 是可测函数， 则，这里 λ 是 Lebesgue 测度.;
1.□.3 Radon-Nikodym 定理;
设 μ， ν 是 (X， Σ) 上的测度. 若 μ(A) = 0 ν(A) = 0， 则称 ν 关于 μ 连续， 记为 ν＜＜μ.;
定理 1.□.9(Radon-Nikodym 定理) 设 μ， ν 是 (X， Σ) 上的 σ-有限测度， 则下列陈述等价：;
(1) ν＜＜μ;;
(□) 存在可测函数 f : X → [0， ∞]， 使得， 对一切 A ∈Σ 成立.;
参考文献